Die Eigenschaften einer Folge erklärt und untersucht

Wolltest du schon immer wissen, wie man die verschiedenen Eigenschaften einer Folge untersucht und welche diese sind? Keine Sorge, in meinem neuesten Video auf meinem Kanal Informatikstudium mit Yann auf YouTube erkläre ich dir das alles.

Das Video findest du hier:

https://youtu.be/rUE-duhtGo8?si=_rDm8Q9vjTI1O9dj

Was ist eine Folge?

Eine Folge ist zuallererst mal eine Abfolge aus Werten. Diese Werte haben eine Ordnung, das heißt, sie haben Indizes. Diese Indizes sind eindeutige Zahlen aus dem Bereich der natürlichen Zahlen, mit dem die Werte durchnummeriert werden.

Jeder Wert kann für sich stehend beliebig sein, so kann ein Wert beispielsweise die Anzahl der verkauften Kugeln Eis pro Tag eines Eisladens sein, und dann stellt jeder Index einen Tag dar. Diese Verkäufe und die Anzahl, über die sie gemessen wurden, sind ja endlich. Nicht nur, kann man nicht die Zukunft messen, sondern es gibt auch einen ersten Tag, an dem na sich entschied zu messen, deshalb wäre das auch ein Beispiel für eine endliche Folge.

Viel interessanter sind für uns erstmal die unendlichen Folgen. Diese können auf verschiedene Arten und Weise definiert werden, zB per expliziter Bildungsvorschrift, rekursiver Definition oder mit natürlicher Sprache. Schau dazu gern mein Video, in dem ich das genauer erkläre.

Eine unendliche Folge hat ein paar Eigenschaften, über die man sich unterhalten kann.

Beschränktheit

Eine Folge kann Schranken haben, über die sie nicht hinauswachsen kann, oder unter welche sie nicht fallen kann. Diese nennt man dann obere und untere Schranke der Folge.

Monotonie

Monotonie beschreibt das Verhalten, dass die Werte der Folge mit steigendem Index gleichbleiben. Das heißt, man schaut sich an, ist jeder Wert, der auf einen Wert folgt, größer als der Wert davor, oder kleiner als der Wert davor, oder kann man das gar nicht sagen. Beispiel, die Sinusfunktion wäre abschnittsweise monoton, aber nicht gesamtheitlich monoton, da sie ja mal steigt und mal fällt.

Ich habe euch ein paar Beispiele mitgebracht:

Konvergenz

Konvergenz beschreibt, dass sich eine Folge einem bestimmten Wert beliebig annähert. Das heißt, die Folge muss nicht nur beschränkt sein, sondern sich quasi auch beruhigen. In der unten stehenden Grafik kann man das ganz gut erkennen.

Wie ihr seht, gibt es rechts zwar eine obere und untere Schranke, aber die Funktion ‚beruhigt‘ sich nicht und schnürt sich zu.

Das ist auch ein guter Moment, um über den Satz von Weierstraß zu reden, nämlich dass jede monotone beschränkte Folge im Körper der reellen Zahlen konvergiert. Übrigens, ein Körper gilt dann als vollständig, wenn jede monotone beschränkte Folge darin konvergiert, das ist für die reellen Zahlen der Fall.

Warum ist das ein guter Moment, darüber zu reden? Weil ihr hier an dem Beispiel gut sehen könnt, dass die Umkehrung nicht gilt, wie ihr seht, ist die Folge nämlich nicht monoton, nur beschränkt und konvergiert trotzdem.

Um sich die Konvergenz anzuschauen, schaut man sich also das Verhalten für immer größer werdender Indizes an.

Schlusswort

Mehr zu den einzelnen Themen, inklusive Beispiele und Rechnungen, findet ihr im Video oben.

Feedback und Korrekturen gerne per Mail an

studiumkanal@yannberton.com

Danke fürs Lesen!

Yann